18A. Вероятность

Симметричный кубик бросают много раз. Какова примерная частота выпадения а) шестёрки; б) чётного числа; в) числа, делящегося на 3; г) числа, не делящегося ни на 2, ни на 3?

а) Каждый урок геометрии Наталия Павловна случайно выбирает одного из учеников вашего класса и просит стереть с доски. С какой частотой Андрей стирает с доски на уроке геометрии? б) Что влияет на эту частоту (кроме обыкновения Наталии Павловны просить одних учеников стирать с доски чаще, чем других)?

а) В пруду обитают караси двух видов. Выловили 40 карасей. Оказалось, что 12 из них первого вида. Какой прогноз о доле карасей первого вида среди обитающих в пруду карасей вы можете сделать? б) Ихтиолог Сева выловил $k$ карасей, прикрепил к их плавнику метку, а потом выпустил их обратно в пруд. На следующий день он выловил $N$ карасей и $n$ из них оказались с меткой. Какой вывод можно сделать в результате этого исследования? Если эксперимент повторять много раз, частота события колеблется около одного и того же числа~— где бы и кем бы эксперимент ни проводился. Это число называют вероятностью события $A$ и обозначают $P(A)$. Это не теорема, а наблюдение о мире; на нём основана вера в то, что теорию вероятностей можно применять к реальной жизни. Слово «вероятность» используют и в других смыслах: например, говорят о вероятности единичного события, которое нельзя повторить много раз,~— что определённая команда выиграет завтрашний матч. В этом листке мы говорим только о вероятности как о частоте. Событие «произошло хотя бы одно из событий $A$ и $B$» обозначают $A\cup B$, «произошли и $A$, и $B$»~— $A\cap B$, «$A$ не произошло»~— $\overline{A}$; его называют противоположным к $A$. События $A$ и $B$ несовместны, если они не могут произойти одновременно.

Монету бросили 10 раз. Какова вероятность того, что а) 10 раз выпал орёл; б) сначала выпало 5 орлов, а затем 5 решек; в) выпало 5 орлов и 5 решек (в любом порядке)?

Подбрасывают два кубика --- синий и зелёный. С какой вероятностью получится, что а) на синем выпало чётное число, а на зелёном 1 или 6? б) сумма очков на двух кубиках равна 5?

В шляпе лежат карточки со словами: 10 с надписью <<дуб>>, 5 с надписью <<зуб>>, 15 с надписью <<куб>> и 20 с надписью <<зубр>>. Вытаскивают одну случайную карточку. Рассмотрим события:\\ $A$=<<слово заканчивается на букву ``б''>>\\ $B$=<<слово начинается на букву ``з''>>\\$C$=<<в слове есть буква ``у''>>\\ $D$=<<слово начинается на букву ``б''>>. Верны ли утверждения: а) $P(C)+P(D)=P(C\cup D)$; б) $P(A)+P(B)=P(A\cup B)$.

а) Объясните, почему $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$, если события $A$ и $B$ несовместны. б) Чему равна вероятность события, которое происходит при любом результате эксперимента? в) Объясните, почему $P(A)+P(\overline{A})=1$.

Верно ли, что $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ для любых событий $A$ и $B$? Если нет, сформулируйте верное равенство.

Вероятность события $A$ равна 1/3, вероятность события $B$ равна 1/2, вероятность события «произошло событие $A$ или событие $B$» равна 2/3. Как такое возможно? Придумайте пример эксперимента и событий, для которых будут такие вероятности.

В классе 25 детей. Для дежурства наугад выбирают двоих. Вероятность того, что оба дежурных окажутся мальчиками, равна 3/25. Сколько в классе девочек? $$\star\star\star$$ Вероятностная модель эксперимента~— это конечное множество $\Omega$ и числа $p(\omega)\ge 0$, по одному для каждого $\omega\in\Omega$, в сумме равные 1. Элементы $\Omega$~— элементарные исходы: несовместные события, из которых при каждом проведении эксперимента происходит ровно одно; $p(\omega)$~— их вероятности. Событию отвечает подмножество $A\subset\Omega$, и $P(A)$~— сумма $p(\omega)$ по всем $\omega\in A$. Один эксперимент можно описать разными моделями; если обе правильно описывают эксперимент, то вероятность события в обеих моделях одна и та же.

Докажите, исходя из определения модели: а) $P(\Omega)=1$ и $P(\emptyset)=0$; б) если $A\subset B$, то $P(A)\le P(B)$; в) $P(\overline{A})=1-P(A)$; г) $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

Каждый ученик подбрасывает один кубик, одну монетку и вытаскивает из мешка с полным набором домино одну из доминошек. Постройте вероятностную модель этого эксперимента. Что будет элементарным исходами? Сколько элементарных исходов в этой модели? Чему равны их вероятности? Приведите пример пары несовместных событий в этой модели, а также пример пары противоположных событий.

С какой вероятностью в предыдущей задаче выпадет орёл? Можно ли было для ответа на этот вопрос построить другую вероятностную модель?

Почтальон Печкин бросает монетку. Если выпал орёл, бросает монетку ещё два раза. Если оба раза выпадет решка, идёт на работу пешком, а иначе едет на велосипеде. Если выпадает решка, бросает кубик. Если выпадает 5 или 6, идёт пешком, иначе едет на автобусе. Если Печкин едет на велосипеде, то с вероятностью 70\% успевает развезти все письма во время, а если идёт пешком --- то с вероятностью~40\%. а) Постройте вероятностную модель. б) Придумайте какое-нибудь событие для этого эксперимента и предложите однокласснику найти его вероятность. в) Найдите вероятность события в этом эксперименте, придуманного кем-нибудь из ваших одноклассников.