18α. Вероятность

На гранях симметричной двадцатигранной кости написаны числа от 1 до 20. Какова примерная частота выпадения а) простого числа; б) числа, делящегося на 3 или на 5?

Симметричный кубик бросают; если выпала шестёрка, бросок не засчитывают и кубик перебрасывают. Какова примерная частота единицы среди засчитанных бросков? А чётного числа? Если эксперимент повторять много раз, частота события колеблется около одного и того же числа~— где бы и кем бы эксперимент ни проводился. Это число называют вероятностью события $A$ и обозначают $P(A)$. Это не теорема, а наблюдение о мире; на нём основана вера в то, что теорию вероятностей можно применять к реальной жизни. Слово «вероятность» используют и в других смыслах: например, говорят о вероятности единичного события, которое нельзя повторить много раз,~— что определённая команда выиграет завтрашний матч. В этом листке мы говорим только о вероятности как о частоте. Событие «произошло хотя бы одно из событий $A$ и $B$» обозначают $A\cup B$, «произошли и $A$, и $B$»~— $A\cap B$, «$A$ не произошло»~— $\overline{A}$; его называют противоположным к $A$. События $A$ и $B$ несовместны, если они не могут произойти одновременно.

а) Объясните, почему $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$, если события $A$ и $B$ несовместны. б) Чему равна вероятность события, которое происходит при любом результате эксперимента? в) Объясните, почему $P(A)+P(\overline{A})=1$.

Верно ли, что $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ для любых событий $A$ и $B$? Если нет, сформулируйте верное равенство. $$\star\star\star$$

Две симметричные монеты бросают одновременно. Найдите вероятность того, что выпадут два орла; ровно один орёл.

Бросают два симметричных кубика, красный и синий, и складывают выпавшие числа. Какая сумма имеет наибольшую вероятность?

Десять школьников по очереди тянут билеты из десяти; вытянутый билет на стол не возвращают. Вася выучил один билет. Что ему выгоднее: тянуть первым или последним?

Восемь команд разной силы играют турнир по олимпийской системе: три круга, проигравший выбывает, в каждом матче побеждает более сильная команда. Пары первого круга определяет жеребьёвка. С какой вероятностью а) в финале встретятся две сильнейшие команды; б) в финал выйдет третья по силе команда?

За круглый стол в случайном порядке садятся 10 мальчиков и 10 девочек, среди них Маша. а) С какой вероятностью справа от Маши сидит мальчик? б) С какой вероятностью оба её соседа~— мальчики?

Жук сидит в вершине проволочного каркаса куба. Каждую минуту он переползает по ребру в одну из трёх соседних вершин, выбирая её случайно. С какой вероятностью а) через 3 минуты он окажется в вершине, противоположной исходной; б) через 4 минуты он снова окажется в исходной вершине?

С какой вероятностью ни разу не выпадут два орла подряд, если монету бросают а) 4 раза; б) 10 раз?

На выборах бюллетени вынимают из урны по одному в случайном порядке и сразу подсчитывают. С какой вероятностью в какой-то момент подсчёта у кандидатов А и Б окажется поровну голосов, если а) за А подано 3 голоса, а за Б~— 2; б) за А подано 30 голосов, а за Б~— 20?

Каждое из чисел 1, 2, …, 8 красят в красный или синий цвет, бросая для каждого числа симметричную монету. а) \ Что вероятнее: сумма красных чисел больше суммы синих или меньше? б) Найдите вероятность того, что сумма красных чисел больше.

В урне 3 белых и 2 чёрных шара. Их вынимают наугад по одному, пока не появится белый. С какой вероятностью придётся вынуть не меньше трёх шаров?

Игра состоит из партий; в каждой партии каждая из сторон выигрывает с вероятностью $1/2$, ничьих не бывает. Если игру прервали, приз делят в отношении вероятностей победы, которые были у сторон в момент остановки. а) Тимофей и Витя играли до трёх выигранных партий и прервали игру при счёте 2:1. Как им разделить приз? б) Команды Знатоков и Телезрителей играют до шести побед. Сейчас счёт 2:4 в пользу Телезрителей. С какой вероятностью победят Телезрители?

Аня бросает $n+1$ симметричную монету, а Боря~— $n$ монет. С какой вероятностью у Ани выпадет больше орлов, чем у Бори? $$\star\star\star$$ Вероятностная модель эксперимента~— это конечное множество $\Omega$ и числа $p(\omega)\ge 0$, по одному для каждого $\omega\in\Omega$, в сумме равные 1. Элементы $\Omega$~— элементарные исходы: несовместные события, из которых при каждом проведении эксперимента происходит ровно одно; $p(\omega)$~— их вероятности. Событию отвечает подмножество $A\subset\Omega$, и $P(A)$~— сумма $p(\omega)$ по всем $\omega\in A$. Один эксперимент можно описать разными моделями; если обе правильно описывают эксперимент, то вероятность события в обеих моделях одна и та же.

Докажите, исходя из определения модели: а) $P(\Omega)=1$ и $P(\emptyset)=0$; б) если $A\subset B$, то $P(A)\le P(B)$; в) $P(\overline{A})=1-P(A)$; г) $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

а) Опишите вероятностные модели экспериментов из задач 6 и 10: что такое $\Omega$ и чему равны $p(\omega)$? б) Для задачи 9 постройте две модели: в первой элементарный исход~— рассадка всех двадцати человек, во второй~— пара «кто сидит слева от Маши, кто справа». Сколько исходов в каждой модели? Найдите в обеих ответ на вопрос 9б.

Бросают две одинаковые монеты. Петя рассуждает так: исходов три~— два орла, две решки, орёл и решка,~— значит, монеты упадут по-разному с вероятностью $1/3$. Вася насчитал четыре исхода и получил $1/2$. Кто прав? В чём ошибка другого?

Можно ли нагрузить две монеты так, чтобы вероятности выпадения <<орла>> и <<решки>> были разные, а вероятности выпадения любой из комбинаций <<решка, решка>>, <<орел, решка>>, <<орел, орел>> были бы одинаковы?

Десять человек, среди них Петя и Вася, садятся в случайном порядке а) в ряд; б) за круглый стол. С какой вероятностью между Петей и Васей сидят ровно $k$ человек (за столом~— с одной из сторон)?

За круглый стол в случайном порядке садятся 4 мальчика и 4 девочки. С какой вероятностью их можно разбить на 4 пары соседей так, чтобы в каждой паре были мальчик и девочка?

Каждый из $n$ пассажиров купил билет на $n$-местный самолёт. Первой вошла рассеянная старушка и села на случайное место. Каждый следующий пассажир садится на своё место, если оно свободно, а если занято~— на случайное свободное. С какой вероятностью последний пассажир сядет на своё место?